Бедой всех начальных математических программ и вытекающих из них пособий и учебников, по нашему убеждению, является их общая установка сначала на “один и много”, многолетнее сидение в “пятке”, а потом в “десятке”.
Пришел трёхлетка в детский сад и его, растопырив пальцы, спрашивают: “Сколько?” “Пять”, — отвечает. “Да не пять, а много!” — возражает тётя.
Великий московский ученый Венгер столбик закопал и надпись написал: “Десяток — предел для четырёхлетнего ребенка”. И за столбик не ходи.
До семи лет, а потом еще и полгода в школе ребята приговорены к десятку, к восьми годам выйдут в два. Поставит тётя на одну полку три кубика, на другую пять, и с умным видом спрашивает: “Где больше?” Сама не видит, что ли?
Посидев как следует в одном десятке, первоклассники на вопрос: что лучше, двадцать девять бананов или пятьдесят два, хором отвечают: двадцать девять. А что они должны еще отвечать после столь тщательной методической обработки?
Знали мы, затевая “Стосчёт”, что пятилетке и тысячи мало, но ограничились сотней, чтобы совсем не перепугать почитателей десятка. Хотя имеется у нас вполне посильное для пятилеток пособие для работы с пятнадцатизначными числами, куда “Стосчёт” войдет лишь частью.
И что это великие учёные так привязались к десятку? Еще в конце прошлого века М. Монтессори за полгода выучивала класс шестилеток и пятилеток читать, писать, производить сложение и вычитание с четырёх, пяти и шестизначными числами, естественно, без всякой для детей перегрузки, свойственной нынешним программам.
Вспомните Сергея Александровича Рачинского (1833-1902), работавшего в бедной, даже по нынешним понятиям, сельской Школе:
“Посторонних посетителей, изредка заглядывающих в мою Школу, всего более поражает умственный счёт её учеников.
Та быстрота и лёгкость, с которой они производят в уме умножения и деления, обращаются с мерами квадратными и кубическими, соображают данные сложной задачи, то радостное оживление, с которым они предаются этой умственной гимнастике, наводят на мысль, что в этой школе употребляются особые, усовершенствованные приёмы для преподавания арифметики, что я обладаю в этом отношении каким-то особым искусством или секретом.
Ничто не может быть ошибочнее этого впечатления. Конечно, теперь я владею некоторым навыком к умственному счету, могу импровизировать арифметические задачи в том быстром темпе, в котором они решаются моими учениками. Но до этих скромных умений довели меня или, лучше сказать, домучили сами ученики.
Именно домучили. Никогда я не занимался специально арифметикой, упражняться в умственном счёте никогда не думал. Принялся я за преподавание счёта в сельской школе, не подозревая, на что я иду.
Не успел я приступить к упражнениям в умственном счёте, которые до тех пор в школе не практиковались, как в ней к ним развилась настоящая страсть, не ослабевающая до сих пор. С раннего утра и до позднего вечера стали меня преследовать то одна группа учеников, то другая, то все вместе с требованием умственных задач. Считая эти упражнения полезными, я отдал себя в их распоряжение. Очень скоро оказалось, что они опережают меня, что мне нужно готовиться, самому упражняться.
К этому вскоре присоединилась страсть к письменным упражнениям в счёте. (Прошу методистов заметить: сначала упражнения в “умственном” счете и только потом — в “письменном”! — Н.З.). Ребята вздумали щеголять друг перед другом быстрым и точным умножением и делением на доске многозначных чисел, не поддающихся умственному счёту. Тут я было совершенно встал в тупик. Эти припадки обыкновенно случались вечером. Наши вечерние занятия, теперь все более и более принимающие характер правильных уроков, тогда были гораздо свободнее, да и теперь во избежание утомления часто приходится нарушать их однообразный строй. Вечером же происходили и спевки, в которых участвовали все мои помощники, все лучшие ученики. Я оставался один с непоющими учениками. Этого только и ждали мои мучители. Разом все они, человек тридцать, сорок, накидывались на меня с дощечками: “Сергей Александрович! Деленьице! — Мне на сотни! — Мне на единицы! — Мне на миллионы! — Мне на тысячи!” И решения подавались с такой быстротой, что я едва успевал писать задачи…
Тут однажды, в минуту отчаяния, я бессознательно тиснул у себя в мозгу какую-то неведомую мне пружину, и все деления стали выходить без остатка.
Восторгу ребят не было границ. Но увы! На следующий вечер они потребовали от меня того же, и я не мог исполнить их желания. Лишь впоследствии мало-помалу выяснил я себе то простое сочетание мнемонических приемов с быстрым умственным умножением, которое дает возможность придумывать безостановочно бесконечный ряд десяти и двенадцатизначных чисел, делимых без остатка на любые другие числа, и вместе с тем бесконечный простор для импровизации задач, устных и письменных.
Эта беспрестанная, усиленная возня с цифрами нагнала на меня настоящий арифметический кошмар, загнала меня в теорию чисел, заставила меня неоднократно открывать Америку, т. е. неизвестные мне теоремы Фермата и Эйлера…
Часто я задавал себе вопрос: какими основными способностями обусловливается та необыкновенная ловкость в обращении с числами, тот живой интерес к цифрам и к сочетаниям, которым отличаются наши крестьянские ребята? Нет сомнения, что тут значительную роль играет их удивительная память. Но кроме памяти тут, очевидно, участвуют и другие способности: воображение, живо рисующее перед ними состав чисел из первоначальных множителей и их сочетания, способность связывать внешний вид цифры с этим составом.
Вчера один мальчуган на вопрос, сколько будет, если 84 х 84, отвечал мгновенно: 7056. “Как ты считал?” — спросил я его. “Да это квадратная сажень (т.е. число в ней квадратных дюймов);
я взял 50 х 144 и выкинул 144.” Проще произвести это умножение, чем превративши 84 в квадрате в 7 х 7 х 12 х 12, невозможно.
Почти всегда у хороших счётчиков оказывается и художественная струнка… Крестьянские дети тем и отличаются от детей высших сословий, что односторонние способности встречаются у них весьма редко. Тот из них, который способен к пению, непременно окажется способным и по арифметике, и по русскому языку, наоборот, мальчики, умственно слабые, редко имеют какие-либо художественные способности и склонности. Эта соразмерность дарований распространяется даже на сферу нравственную и придает этим детям их особенную привлекательность”.
Ориентиры столетней давности наводят на размышления. Под невероятный шум о каком-то опережающе-развивающем обучении теперешние восьмилетние дети заканчивают год примерами вроде “7 + х = 10”. В чём опережение, чего развитие? Не уместнее ли к такому “обучению” другие эпитеты прилагать? Тормозяще-отупляющее, например. А весь шум, сдается, затеян ради проталкивания никудышных методик и получения связанных с этим приварков.
Монтессори работала с шести-пятилетками из очень бедных семей, развитие некоторых детей тормозилось недостаточностью питания.
Рачинский работал с десятилетками, собиравшимися в школу из почти сплошь неграмотных соседних деревень, с детьми, испытавшими “много недетского горя”.
Современные двенадцатилетние дети из колледжей, лицеев и гимназий пробавляются примерами вроде: “Найдите значение выражения 127 минус К при К равном 57, при К равном 96”. Никудышен примерчик, “счётчики” Монтессори, а тем более Рачинского с такой мелочью даже бы связываться не стали, но зато как “научно” заделан!
Стремление простейшие вещи “понаучнее заделать” превратилось в московскую педагогическую болезнь. Сколько лет уже носятся, выдавая за величайшую методическую находку, с обмером комнаты палками разной длины: если палка маленькая, то палок будет больше, если палка здоровая, то меньше. “Интересно, дети, почему?” — плещет руками наивная методистка И. И. Аргинская.
У неё же: “Мальчик вырезал несколько палочек. Три палочки он отдал сестре, и тогда у него осталось пятнадцать палочек. Сколько палочек вырезал мальчик?” Слава богу, наконец-то дети перестанут к взрослым приставать: “Несколько — это сколько?” Несколько, оказывается, равно восемнадцати.
“Масса утки 2,5 кг, а масса индюка в пять раз больше. Во сколько раз масса утки меньше массы индюка? ” Ей-богу, скоро до того опережающе разовьемся, а может развивающе опередимся, что в магазинах начнем продавцов озадачивать: “Взмасьте мне уточку!”
“Домашняя хозяйка рассчитывала, что на приготовление пищи затратит две целых и одну седьмую часа, а на стирку белья…” и т.д.
Господа методисты! Рассчитывайте время сами хоть в семнадцатых долях, но народ к такому развивающему опережению еще не готов.
И столь любимыми разработчиками программ для начальной школы дециметрами никто, кроме скорняков и продавцов кожи, ничего не мерит. Здесь правда процесс несколько пошел. “Ты знаешь, у Натальи такой жених красивый: 19 дециметров 5 сантиметров ростом!” – сообщает подруге в метро одна симпатичная дама. “Правда? А у Лены дочка родилась, 5 дециметров 2 сантиметра!” — поддерживает разговор другая. “А масса какова?” — “Четыре с половиной килограмма”.
Обе оказались доцентами кафедры методики преподавания математики педагогического университета.
Занковские программы для первого класса на изучение однозначных чисел отводят 100 часов, на двузначные — 70. С таблицей умножения знакомятся без её выучивания. Тут и учебный год кончается. Программы по геометрии и алгебре весьма примитивны, но “заделаны” чрезвычайно “научно”. По “новейшим” методикам Петерсон с цифрой 5 будем знакомиться на 26-м уроке.
С результатами, превосходящими московские, мы приходим не к восьми-девяти годам, а к пяти-шести, считая это вполне нормальным для ребёнка такого возраста, даже недостаточным. Приблизиться к норме и превзойти сегодняшние результаты сможем с выпуском следующего нашего пособия.
Семья уже давно обогнала занковско-петерсоновские наработки. Никто не удивляется четырёхлеткам, умеющим считать до ста. По нашей же числовой ленте до ста считают и трёхлетки.
Расположите на стене в горизонтальный ряд набор имеющихся в комплекте “Стосчёта” картонок, в которых десяток представлен пирамидкой из кружочков 1+2+3+4 или 4+3+2+1, если рассматривать пирамидку снизу; 4+3+3, (группируя глазом 2+1) или 3+3+4. Под этим рядом или на другой стене можно расположить набор картонок, в которых десяток представлен квадратиками как 5+5.
Числовая лента прямо-таки гипнотизирует детей при первом знакомстве, притягивает к себе, вызывая сильнейшее желание в ней разобраться.
Детсадовская группа четырёхлеток, как правило, может, с опорой на ленту, “озвучить” её всю до конца. “Сколько?” — спрашивает наставник, установив указку в первую левую клетку ленты. “Ноль”, — дружно отвечают ребята. “Один, два, три, четыре…”, — продолжают хором, следуя за передвигающейся указкой. В клетках с 11-й по 19-ю совершайте указкой движение в пределах клетки справа налево, т.к. произносимые слова начинаются с элементов один-две-три-четыр-пят-шест-сем-восем-девять с последующей добавкой -надцать, к моменту произнесения которой указка сдвигается влево к изображению десятка.
В последующих клетках скользим указкой при произнесении числа сначала по изображениям десятков, затем по изображениям единиц (в кружочках или квадратиках).
Первая трудность может встретиться при назывании числа 30. “Двадцать восемь, двадцать девять, ..двадцать десять.” “Ты что, двадцать десять не бывает!” – одергивают ребята поспешившего товарища. И тут же кто-нибудь восклицает:
“Тридцать!” “Правильно, тридцать”, – говорит наставник и пересчитывает вслух десятки, расположенные столбиком:
“Десять, двадцать, тридцать”.
А дальше легко ребятам: тридцать один, тридцать два, тридцать три… Если споткнемся на сорока — подскажем, пересчитаем десятки, а дальше опять все дружно кричат: сорок один, сорок два…
Почему ребятам лента так нравится и откуда им так много в ней известно?
Буквы и цифры буквально окружают ребёнка с первого дня появления на свет: в роддоме, маму не дав разглядеть, унесли в другое помещение. На руках бирки с буквами и цифрами. Неделю разглядывал.
В каждом доме полно книг, календарей. Буквы и цифры на конфетных обертках, игрушках, экране телевизора, в магазине. Мама целует пальчики, приговаривая: один, два, три… Папа, бабушки, дедушки, старшие братья учат считать, пишут буквы и цифры.
К четырем-пяти годам малыш уже много знает, во многом разобрался. Как этого не учитывать? Разработчики же программ действуют даже не по меркам столетней, а, пожалуй, стопятидесятилетней давности.
Числовая лента помогает установить уровень знакомства детей с числами, их цифровым изображением, счётом. Лента отвечает, конечно, и на вопросы, еще не разрешённые детьми, но в которых. им страстно хочется, и в которых они уже могут разобраться.
В любом садике, обеспеченном “Стосчётами”, четырехлетки с удовольствием демонстрируют умение считать до ста, пятилетки могут к 56 прибавить 27, от 86 отнять 38, многие делают это в уме. Пяти-шестилетки с радостью выходят за пределы сотни, в тысячи и большие числа.
“Стосчёты” разошлись по стране в количестве нескольких десятков тысяч комплектов. Там, где работают с ними, не проходят цифру за цифрой, не изучают состав десятка, переход через десяток (которого, как покажем ниже, никогда и не существовало), не пристают к детям с вопросами: что больше 5 или 3; 46 — сколько десятков, сколько единиц? Сама не видишь, что ли?
Рассмотрим числовую ленту повнимательнее. Слева маленькие числа, справа большие. Взрослым это привычно, а откуда малышам знать, что мы именно так условились числа располагать? Это совсем для малыша не очевидно. На физкультуре, например, выстраиваются наоборот: слева большие ребята, а вправо друг друга меньше.
Лента, висящая на стене, сделает расположение чисел от маленьких к большим для ребёнка таким же привычным, как и для нас.
Какое бы число мы в ленте ни указали и ни назвали, ребёнок будет воспринимать его в совокупности следующих обозначенных признаков: сорок семь — слышим звуки; видим, сколько предметов представлено (кружочков, квадратиков); как они скомпонованы: четыре десятка, семь единиц, семь состоит из четырёх и трёх в кружочках или из пяти и двух в квадратиках, до десяти не хватает трёх; видим, как это число выражается цифрами, четвёрку легко соотносим с числом десятков, семёрку — с числом единиц. Заметим, все это считывается одним взглядом, сочетаясь со звуковым образом числа.
Сочесть четыре образа числа — звуковой, количественный, составной и графический (цифровой) – как раз и является основополагающим шагом.
Только не лезьте к ребёнку с якобы методическими настырно-стями: что больше, что меньше, на сколько, состав десятка, состав числа и проч.
А вот походить вдоль ленты, посчитать по ней, переводя при назывании следующего числа указку в соседнюю правую клетку, поотыскивать задаваемые наставником числа ребятам совершенно необходимо. Вот несколько полезных упражнений при знакомстве с числовой лентой.
1) Просчитать, переводя указку из клетки в клетку и громко называя числа, от начала до конца ленты.
2) Просчитать в порядке 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Можно показать и 100, если расположить картонку с написан ными па ней цифрами под изображением ноля. Через некоторое время сможем считать и в обратном порядке: 100, 90, 80, 70… 10, 0. А еще через какое-то время справимся с полным обратным счётом от ста: 100, 99, 98, 97…3, 2, 1, 0.
Ребята любят производить “запуск ракеты” с обратным отсчётом, чтобы вместо “ноль” крикнуть: “Пуск!”
3) Покажи, СКОЛЬКО ТЕБЕ ЛЕТ. Обычно ребята откликаются на это с энтузиазмом, всей группой бегут в начало таблицы, и пока каждый не покажет, не успокоятся,
4) А МНЕ знаете СКОЛЬКО ЛЕТ? Покажите число своих лет на ленте и попросите ребят “отгадать”. Обязательно “отгадают”.
5) СКОЛЬКО ЛЕТ твоему брату? сестре? МАМЕ? папе? бабушке? дедушке?
И здесь натыкаемся на интересную вещь. Сколько лет брату, сестре ребята еще знают, а вот о возрасте мамы, а тем более бабушки, представления весьма туманные, а чаще и вовсе никаких. Да откуда бы ребятам это и знать? Родители, по скромности, не сообщают, воспитатели и рады бы были, да программа не позволяет, маме-то, наверняка, больше десяти. Не говоря уж о бабушках и дедушках, возраст которых ребятам сообщить можно будет только в четвёртой четверти первого класса.
Обследования “трудных” подростков показывают: ребята не знают возраста родителей, не помнят дней их рождения. А “нетрудные” все ли помнят? Вырастут, так маме или бабушке в день рождения и не позвонят – не приучали их к этому в самом лучшем, самом чутком возрасте.
В детских садах, работающих по нашим методикам, родители непременно приносят воспитателям листочек, заполненный по форме: фамилия, имя, отчество, число, месяц, год рождения, куда записаны данные самого ребёнка; его братьев, сестер, родителей; бабушек и дедушек по линии матери и отца; других близких, которых пожелает вписать семья.
Ребята с превеликим удовольствием показывают на ленте их возраст, пишут поздравления к дням рождения, сопровождая их, конечно, рисунками. Воспитатели отмечают: сразу устанавливаются тёплые отношения с семьей, родители охотно идут навстречу. У некоторых печать раздумий на лице: а, ведь, и верно, не помним дней рождения своих близких… Вдруг и мой ребенок попадет в “трудные” подростки?
В одном садике, где числовая лента была расположена на стене довольно низко, так что дети могли дотягиваться до неё руками (а мы рекомендуем развешивать все материалы повыше и работать с указками), вдруг заметили: весь “Стосчёт” испещрён черточками разного цвета, сделанными карандашом, ручками, а то и процарапанными. Потом догадались: это ребята “своих” метят, кому сколько лет, чтобы потом быстрее показывать.
А ведь если числовая лента повыше расположена, можно под числами, соответствующими возрасту, прикреплять исполненные самими ребятами портреты родственников (после дней рождения перемещать их на клетку вправо).
6) Показать на ленте НОМЕР ДОМА, квартиры, телефона. Трёхзначное число? Не беда! Нужно иметь какое-то количество карточек с цифрами (они пригодятся и для других упражнений). Если номер телефона, к примеру, 123-45-67, приставляем карточку с цифрой 1 слева от 23 и говорим 123, далее показываем и называем 45 и 67. Телефон 765-43-21, покажем, воспользовавшись карточкой с цифрой 7.
А название улицы, естественно, ребята покажут по складовой таблице. Всё “своё” — имя, фамилию, имена родителей и близких, название улицы, номер дома, квартиры, телефона ребята прописывают с величайшей охотой. Отчего бы этим в образовательных целях не воспользоваться?
7) Потрясающая игра. КТО ЗНАЕТ, ГДЕ… 67?
Протяжённость ленты — шесть с половиной метров. Висит высоко, не надо никого уговаривать: отойдите, вам лучше будет видно, не заслоняйте и т.д. Головки у ребят подняты, все, конечно, стоят, а не сидят, в руках указочки (можно прутиков нарезать).
Как только названо число, всё приходит в движение: нужно как можно быстрее обнаружить 67. Ребёнок, первым коснувшийся указкой нужной клетки, получает награду — команду “Выходи!”. Можно посидеть, полежать, повисеть, еще лучше забраться на шведскую стенку и наблюдать игру оттуда.
Поначалу бросаются в разные места, показывают разные числа, часто “зеркалят”, т.е. показывают 76 вместо 67.
Что делает наставник? Ребятам, установившим указки не в тех клетках, нужно сказать: “У тебя 48, а нужно 67”. У клетки 67, когда она обнаружена, можно остановиться и сказать что-нибудь такое: “Ну-ка, проверим… Десять, двадцать (пересчитывая изображения десятков), тридцать, сорок, пятьдесят, шестьдесят. А здесь (т.е. в изображении единиц)? Четыре да три (пять да два, если на ленте с квадратиками) — семь. Шестьдесят да семь — как по-русски называют? Правильно — шестьдесят семь”.
Двум-трём последним, “не вышедшим” ребятам, задав число, например, 34, покажите, как нужно действовать: “Ноль-десять-двадцать-тридцать. Ищи теперь 34 на этой картонке!”
Как только выходит последний, раздаётся команда: “Заходи! ”, все ребята вмиг оказываются у ленты и игра продолжается.
Постепенно действия ребят становятся все осмысленнее, исчезают ненужные шарахания за провоцирующими товарищами. Ребята начинают думать, приглядываться. Даже самые медленные расшевелились.
Какое бы число ни показали, все ребята непременно фиксируют его взглядом, запоминают, на ходу обучаются. Четырехпятилетки осваиваются с лентой и начинают находить в ней задаваемые числа через два-три-четыре занятия. Безусловно, есть такие ребята, которые и в первый день всё показывают.
А цифры мы, долго и нудно, изучали? Нет, сами собой как-то выучились. А ведь московские пособия цифры по одной месяцами вводят, да еще под “научным” соусом какого-то опережения: “Давно это было. Жил на свете нуль. Вначале он был маленьким-премаленьким, как маковое зернышко. Нуль никогда не отказывался от манной каши и вырос большим-пребольшим…” “1 — обломанный сучок. 2 — утка, 3 — ласточка, 4 – стул перевернутый, 5 — серп, 6 — дверной замочек, 7 — кочерга, 8 два бублика, 9 — кот с хвостом”. “Далеко-далеко, за морями и горами была страна Цифирия”-И т.д., и т.п.
8) Картонки одного комплекта “Стосчёта” надо разрезать. Одного комплекта хватит на весь детский сад или несколько первых классов. Разрезать так, чтобы каждое число оказалось на отдельной карточке. Красную вертикальную широкую полосу после девяти и чисел, оканчивающихся на девять, отрезать не нужно пусть будет опознавательным знаком.
Разделившись на две команды, ребята получают по набору-карточек — в одном карточки с кружочками, в другом — с квадратиками.
Задание: КАКАЯ КОМАНДА соберет числовую ленту БЫСТРЕЕ? Такую же, как на стене, нужно собрать из перемешанных кусочков на полу.
Только бы видели, с каким интересом, сосредоточенностью работают ребята. Переносят карточки с маленькими числами влево, с большими вправо. Другие подбегают с карточкой к ленте, висящей на стене, отыскивают там похожую клеточку и бегут обратно. Два-три мальчика никуда не бегают, раскладывают карточки в должном порядке внутри каждого десятка. Одна девочка тоже никуда не бегает, для неё главное, чтобы лента красиво, ровненько лежала, а не кое-как, и терпеливо поправляет небрежно положенные карточки.
“Ура, мы победили!” — кричит команда, собравшая ленту первой. Наставнику остается только проверить правильность “сборки”, ошибок, как правило, не бывает.
Через некоторое время можно будет предложить ребятам собирать из тех же кусочков не ленты, а “столбы”, о которых будет рассказано ниже.
9) У Г.С.Рыбкиной (Петербург, Ушинского, 35, “Непоседы) ребята с удовольствием собирают из карточек “улицу” с чётными и нечётными рядами домов, находят на ней “свой” дом.
10) Постепенно начинаем “подкидывать” ребятам ЗАДАЧКИ. “Папе 34 года, а маме 27 (пользуйтесь двумя указками, одна из которых задерживается в клетке 34, другая в клетке 27 ). На сколько лет папа старше мамы?”
Только не задавайте глупых вопросов вроде: кто старше, кто младше. Ребята давно увидели, поняли: если число слева, то меньше; справа — больше.
“Так на сколько же лет папа старше мамы? Вы не гадайте, в таблицу посмотрите”. Некоторые уже и так глядят, сообразили:
задрав головки, кивают пальчиками. “Семь!” — восклицает один мальчик. “Ах!” отваливаются присутствующие занковцы вместе с петерсоновцами и давыдовцами. Ведь по их всеобгоняющим программам такое доступно только восьмилеткам, а тут четырёх-пятилетки разобрались.
А что здесь хитрого-то? Выходим указкой или глазами из клетки 27 в соседнюю правую – один, в следующую клетку — два и т.д., пока не прибудем в клетку 34. А если дедушке 63, а бабушке 55, и надо узнать на сколько лет бабушка моложе, пойдем, отсчитывая клетки от шестидесяти трёх к пятидесяти пяти. И узнаем.
Вот типичный случай. На курсах в Перми пятилетки на второй день, позанимавшись в первый минут 35 и чтением и математикой, запросто разобрались с помощью числовой ленты с такой “не программной”, с точки зрения московских опережателей, задачей.
“Сколько вас сегодня пришло?” Посчитались, доложили:
“Пятнадцать!” Отметили это число прилепкой под числовой лентой. “А сколько всего ребят в группе?” “Незнаем”. “Сбегайте, спросите у воспитательницы!” Выяснили: “Двадцать семь!” “А где остальные ребята?” “На горке катаются”. “Сколько ребят на горке?” Все уже смотрят в ленту, подсчитывая количество клеток от 15 до 27.
И почти моментально приходит ответ: “Двенадцать!” “Ах!” -вскрикивают местные опережатели.
Нужно развивать и укреплять навыки решения подобных задач путем присчёта и отсчёта па числовой ленте. В пределах ленты можем прибавлять что угодно к чему угодно, так же как и отнимать.
И даже выходить за пределы ста. Если к 94 нужно прибавить 12, будем действовать следующим образом: один ( переводя указку из клетки 94 в клетку 95), два-три-четыре-пять (указка находится уже в клетке 99), шесть (совершив переход к левому краю таблицы и установив указку в “100”, расположенное под изображением ноля), семь, восемь, девять (выходя из сотни в клетки 1-2-3), десять-одиннадцать-двенадцать. Указка остановилась в клетке 6, и ребенок объявляет: 106.
Главное – решать побольше задач. Не сидите в десятке, куда там разбежишься, что придумаешь. Начальная математика отрабатывалась тысячами лет и на Востоке и на Западе, накоплена масса интересного материала, который надо восстановить, может, несколько переработать, адаптировав к условиям сегодняшнего дня. Не по Аргинской же учиться : “Один мальчик вырезал 6 палочек, другой мальчик вырезал 9 палочек, но 2 палочки у него сломались. Сколько палочек осталось у двух мальчиков?”
Предки поостроумнее обрабатывали материал, в частности, и со словом “осталось”. “.Летело 40 гусей, одного убили. Сколько осталось? — Один, остальные улетели”. “А и Б сидели на трубе (вот вам и алгебра! – Н.Э.). 4 упало, Б пропало, что осталось на трубе?” “Поле вспахано упряжкой из трёх волов. Сколько пар следов осталось? — Одна, пахаря, следы волов плуг запахал”.
А надо ли нам разучивать состав десятка перед решением примеров и задач с однозначными и двузначными числами? Нет, конечно. Весь состав десятка у тебя на десяти пальцах. Вот эрдниевский пример: когда показывают три пальца, что вы видите? — Правильно, три пальца. А что еще? Правильно, и еще два, поджатых. А пять пальцев на другой руке — в уме. А когда показывают семь пальцев? Правильно, видим 7, состоящие из пяти и двух, видим 3 поджатых пальца. Принцип достаточности и недостаточности.
Также и на наших числовых лентах, только поподробнее. Увидев 4, видишь еще и 6, недостающие до 10. Пять — либо четыре и один (из кружочков), либо половина десятка (из квадратиков). Шесть – четыре и два (два и четыре), либо пять и один (один и пять), в обоих случаях ясно видно, что четырёх до десяти недостает. Семь – четыре и три, либо пять и два. Восемь — четыре, три, один, либо четыре и четыре, рядом расположенные предметы в количестве до пяти автоматически сосчитываются глазом. Восемь из квадратиков – пять и три. И там и там видно, что двух до десяти не хватает. Девять есть четыре, три и два (из кружочков) либо пять и четыре (из квадратиков).
Какие еще составы нужны? Любой состав можно и на пальцах получить, не наводя научного туману.
О том, что хорошо показано и ОЧЕВИДНО, не надо рассказывать, глупо выйдет: у взрослого велосипеда два колеса, а у детского три; у чашки есть ручка, а у стакана нет и т.п. “Вы только подумайте, ребята… Еще за 15 минут до смерти он был жив. Даже за 10… И даже за 5!”
Состав десятка выучивается сам собой, поскольку он у нас исчерпывающе представлен, хорошо показан, и рассказывать об очевидностях излишне. Чем больше работаем с лентой, решая задачу за задачей, тем быстрее эта очевидность усваивается.
Не смущает нас и так называемый переход через десяток. Многих методистов раздражает красная полоса, проведенная после 9 и чисел, оканчивающихся на 9. “Вы бы, —советуют, начали не с нуля, а с единицы, тогда бы 100 на ленте разместилось, а то у вас кончается на 99. И красную полосу ставили бы после 10, 20, 30…”
В том то и ошибка, что почти все раньше так и делали. Обратимся к комплекту картонок, расположенных не лентой, а “столбом” в порядке (сверху вниз) О…9, 10…19, 20.-.29 и т.д. с 90…99 в самом низу.
Посчитаем сверху вниз, сколько рядов изображений десятков (в кружочках либо в квадратиках) получилось на весь столб:
1+1+2+3+4+5+6+7+8+9=46. Послушайся учёных и устрой картонки как им хочется, т.е. 1…10, 11…20, 21…30, 31…40, 41…50, 51…60, 61…70, 71…80, 81…90, 91…100, рядов десятков получилось бы 1+2+3+4+ +5+6+7+8+9+10=55.
Приобретение лишних девяти рядов не только бы увеличило объем таблицы, но и значительно затруднило бы пользование ею. Каждый горизонтальный ряд двузначных чисел объединяется у нас общей начальной цифрой: 50-51-52-53-54-55-56-57-58-59, а также общим начальным словом, в данном случае “пятьдесят”.
Эти ориентиры помогают ребёнку отыскивать число и на ленте и в картонках, расположенных “столбом”. Потеря этих ориентиров осложнит процесс поиска.
Есть ещё одно соображение в пользу того представления числового ряда, который мы предлагаем. Допустим, студентке В. исполнилось 20 лет. Какой ей десяток пошёл? – Правильно, третий. И в наших картонках это третий десяток. А члену-корреспонденту, МРЗ (методисту республиканского значения) Г. исполнилось 60. Ему какой десяток пошёл? – Правильно, седьмой. По нашим картонкам тоже так выходит. Последуй мы в своё время советам московских специалистов, девушка бы думала, что ей идёт второй десяток, а заслуженный МРЗ пребывал бы в шестом.
Не следует ли из вышесказанного, что никакого “перехода через десяток” не существует (Сколько лет не тем маялись?), есть ПЕРЕХОД к новому десятку. Но и об этом детям не сообщайте, чтобы не омрачать радости, с какой они решают задачи на сложение и вычитание, безмятежно перепрыгивая через красную полосу.
Не рассказывайте про однозначные и двузначные числа, о том, как при сложении два однозначных (“Надо же чудо какое! Кто бы мог подумать, что такое бывает?”) превращаются в двузначное и пр. и пр. Не забивайте голову ни им, ни себе. Всё это ребёнок прекрасно отследит в действиях на ленте. Это и есть его путь от конкретного к абстрактному, от общего к частному и обратно.
Если кто-то еще не уверен, что ребята уже разобрались, где меньше, а где больше, что чего на сколько больше и на сколько меньше, проделайте следующее упражнение, пятилетки с ним легко справляются.
11) Раздайте пяти-шести-десяти ребятам по карточке (из разрезанного комплекта), к примеру, 5,14,19, 21, 36,48, 54, 66, 87.
Получив карточку, каждый должен найти такую же клеточку на числовой ленте и установить в ней свою указку. Указки Делайте метра по полтора-два, чтобы не снизу в высоко расположенную на стене ленту заглядывать, а с приличного расстояния — для глаз так лучше, голова поднята, вверх тянешься, спинка прямая. И, что очень важно, угол обзора шире, а значит, и “угол мышления”.
Диалог наставника (Н) с детьми может проходить примерно следующим образом:
Н: У кого меньше всех
Саша: У меня.
Н: А сколько у тебя?
Саша: Пять.
Н: А у кого больше всех?
Юля (очень довольная): У меня! 87.
Наставник обходит детей, которые показывают свои карточки и те же, что на карточках, числа на ленте и называют их.
Н: Саша, на, сколько у Игоря больше, чем у тебя?
Саша (пересчитав клетки до той, в которой держит указку Игорь): На девять!
Н: Игорь, на сколько больше у Наташи?
Игорь: На пять!
Наташа: У Светы на два больше, чем у меня!
Света: У Лены на 15 больше.
Лена: У Ларисы на 12 больше, чем у меня.
Лариса: У Вани на 6 больше. . ,
Ваня: У Серёжи на 12 больше, чем у меня.
Сережа: У Юли на 11 больше, чем у меня.
Н: Юля, посчитай, на сколько у Сережи меньше, чем у тебя.
Юля: У Серёжи на 11 меньше, чем у меня.
И так далее влево до Саши. Через некоторое время ребята смогут свободнее ориентироваться, совсем не трудно будет сказать:
Лариса: У Вани на 6 больше, чем у меня, а у Лены на 12 меньше.
Конечно, ребятам будет интереснее высказываться в таком духе: “У Игоря на 7 бананов больше, а у Васи на 13 меньше, чем у меня”. Вместо бананов, понятно, могут быть мячи, машины, яблоки, конфеты, тысячи рублей, селёдки, сардельки, лягушки, скорпионы, грязные тарелки и т.п.
12) С проблемой “сколько в каком числе знаков”, лучше всего разобраться но таблице.
В двадцать пятом садике Выборгского района Петербурга в детском коллективе событие. Воспитательница Галина Дмитриевна принесла в группу такую таблицу размером в ватмановский лист. Целый день ребята ничего не могли делать — всё возвращались к записанным в ней числам. Стали выкладывать все названия на кубиках. По дороге домой рассказывали родителям: “Мама, ты знаешь что такое квадриллион? Шестнадцатизначное число — единица с пятнадцатью нулями. А сто дециллиопов — тридцать пять нулей! С единицей тридцать шесть знаков. А дальше уже названий нет. Числа есть, а названий нет. Пишут какое-нибудь число, а наверху – сколько после него нулей”.
Всё это ребята узнали благодаря таблице и пояснениям Галины Дмитриевны.
Аидециллион 1036, дуодециллион 1039, тредециллион 1042, кваттордециллион 1045, сексдециллион 1051, септендециллион 1054, октодсциллиоп 1057, новемдециллион 1060 , вигинтиллион 1063 , гугол 10100 почти ни в каких словарях и справочниках не сыщешь, поэтому и ребятам о них можно не сообщать.
13) Еще несколько видов работы с карточками. Раздадим группе, скажем, из 18 ребят, все 200 карточек. Шестнадцати ребятам достанется по 11 карточек с кружочками и квадратиками, двоим по 12. Каждому нужно отделить карточки с кружочками от карточек с квадратиками и разложить их в две строчки от маленьких к большим.
Теперь, по вызову наставника, нужно в свою очередь бегать то в одно, то в другое место, составляя сразу две ленты или два столба. НОЛЬ, ИДИ СЮДА! – Двое ребят с карточками “ноль” бегут в места, с которых начнутся ленты.
— ОДИН, ИДИ СЮДА! — Ещё двое побежали класть свои карточки справа от уже положенных их товарищами.
И так далее. Участвуют все, сильные помогут слабым, никому не дадут зазеваться.
14) Выкладываем ряды и СЧИТАЕМ ДВОЙКАМИ, ТРОЙКАМИ, четверками, пятерками и т.д.: 17, 34, 51, 68, 85. Глядя на последний ряд, четырех-пятилетки запросто отвечают на вопросы:
— Сколько стоят три рубашки по 17 тысяч?
— 51 тысячу.
— А две рубашки?
— 34 тысячи.
— А пять рубашек?
— 85 тысяч.
К чему приучаем детей, выкладывая такие ряды? – Правильно, к умножению и делению.
15) Раздадим детям по карточке. Объявим, что БУДЕМ ЗАНИМАТЬСЯ СЛОЖЕНИЕМ. У одного ребенка, к примеру, на карточке 14, а у другого 37. Чтобы сложить эти числа, нужно сосчитать на карточках изображения десятков ( “десять-двадцать-тридцать-сорок” ), добавить к семи три, закрыв три кружочка или квадратика под цифрой 4, и сказать “пятьдесят”, добавить к пятидесяти один (не закрытый кружок или квадратик под четверкой) и сказать “пятьдесят один”. Теперь можно бежать к наставнику, объявить результат, и, если результат верен, получить еще но карточке, оставив себе прежние 14 и 37. Играем до тех нор, пока у наставника не кончатся карточки, после чего подсчитываем, у кого (или у какой команды) сколько карточек.
А что делать, ЕСЛИ РЕЗУЛЬТАТ БОЛЬШЕ СТА? К примеру, у одного ребёнка 58, а у другого 75? – Прибавляя меньшее к большему, сосчитываем десятки на карточке 58 следующим образом: 80-90-100-110-120; переносим два от пяти к восьми и говорим: 130; добавляем (оставшиеся от пяти) три к ста тридцати и получаем 133. Объявляем результат наставнику, получаем по карточке и еще по одной, на каждой из которых написано 100. Примеры с выходом за сотню решать экономически выгоднее – получаешь вдвойне.
16) Аналогична предыдущей работа с объявленным для всех ВЫЧИТАНИЕМ. Чтобы от 56 отнять 27, нужно закрыть па карточке 56 изображения двух десятков (отняли 20), закрыть 6 (отняли 26, осталось 30), отнять от тридцати один и объявить результат — 29.
17) Возможна работа не только в парах, но и по три, по четыре человека. Например:
28 + 54 + 39 = 121. Каждый из играющих получает по две карточки за правильное решение, карточку 100 и карточку с новым числом. Или: 67 – 38 24 = 5. Нарисуйте карточки крупно на доске, покажите, как нужно действовать и запускайте игру -ребята додумают, поймут в практике, какими способами нужно добиваться решения.
Важно, что в этих играх дети сами выбирают партнеров, не нужно сидеть, можно использовать и ленту и столбы, листочек бумаги, считать в уме. ГЛАВНОЕ – БЫСТРЫЙ И ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ.
При демонстрации на доске последнего примера стираем три десятка под тройкой и шестеркой, семь (кружочков или квадратиков) под цифрами 8 и 7, оставшийся кружочек или квадратик под цифрой 8 и один в десятке под цифрой 6. Видим, что осталось 29. Стираем два десятка под цифрой 2, затем два десятка под цифрой 6. Видим, что осталось 9. Стираем четыре кружочка (квадратика) под цифрой 4 и столько же в неполном десятке под цифрой 6. Видим, что осталось 5, что и записываем на доске. Можно показать и другой способ: 38 + 24 = 62; 67 — 62 – 5.
18) Расположите на столе или стене карточки 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12 в циферблатном, как на часах, порядке.
Предложите ребятам ПОДСЧИТАТЬ СУММУ ЧИСЕЛ. Конечно, справятся.
Но, познакомившись с “красной” таблицей, покажем им на карточках же более рациональный и остроумный способ действий:
12+(Ц+1)+(10+2)+(9+3)+(8+4)+(7+5)+6=
= 12+12+12+12+12+12+6 = 12 х 6 + 6 = 72 + 6 = 78. Или:
(12+1)+(11+2)+(10+3)+(9+40)+(8+5)+(7+6) = 6 х 13 =78.
Последняя операция легко проделывается по “красной” таблице, о которой расскажем ниже.
Сможем решить и такую задачу: “Шли сто мышей. Первая мышь несла один грош, вторая – два, третья — три…, девяносто восьмая — 98, девяносто девятая – 99, сотая — сто грошей. Сколько грошей несли сто мышей?”
Группируя карточки из числовой ленты, разложенной на полу по две, получаем: (100+0)+(99+1)+(98+2)+(97+3)+(96+4) .”, . ..(53+47)+(52+48)+(51+49)+50. После этого считаем с ребятами: “Сто-двести-триста… девятьсот, тысяча, тысяча сто… четыре тысячи восемьсот, четыре тысячи девятьсот, пять тысяч. Пять тысяч да пятьдесят — пять тысяч пятьдесят грошей!” Разумеется, покажем на доске: 50 х 100 = 5000; 5000+50 = 5050. Чтобы возникло чувство: “Зря столько ходили! Если б раньше знали, намного быстрее сделали бы!”
А теперь можно обратить внимание ребят на две нижние строчки “красной” таблицы, в которых собраны числа, дополняющие друг друга до ста. Оказывается, задачу о мышах можно было решить не раскладывая и не собирая карточки.
19) Карточки, расположенные на стене в порядке: 40, 39, 38, 37… 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5… 37, 38, 39, 40 чудесный “термометр” и способ приучения ребят к ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ЧИСЛАМ.
Можем такого типа задачки порешать: “На прошлой неделе в пятницу было 5 градусов тепла (плюс 5), а сейчас 6 градусов мороза (минус 6). На сколько градусов сейчас холоднее?” Поможет уже приобретённый стереотип: идёшь влево – меньше, вправо – больше.
20) Карточки, лента и “столб” с квадратиками помогут в будущем легче освоить ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ: 47 с запятой после четвёрки благодаря изображениям десятков и единиц, размещенных под цифрами, легко воспринимаются как “четыре целых, семь десятых”.
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ НА “СТОЛБАХ”
21) Двадцать картонок, расположенных (лучше всего приклеенных к стене) двумя “столбами” в разных местах комнаты, позволяют увеличить скорость сложения и вычитания по сравнению с действиями на ленте.
Лет десять назад, когда работал в детских садах еще с рукодельными пособиями, был поражен реакцией ребят на первый раз увиденные ими “столбы”.
Замерли все, тихо, разглядывают, переводя глаза от одного столба к другому и к лентам. “Ну что, Тимоша, – спрашиваю мальчика, которому еще и пяти не исполнилось, – нравится?”
“Нравится… Красиво”. “А что красиво?” “А вот здесь всё четыре-четыре-четыре…” “А здесь восемь-восемь-восемь-восемь…”, – присоединились другие ребята.
Подразумевались колонки чисел 4-14-24-34… и 8-18-28-38…
22) Поучимся считать десятками: 1-11-21-31-41…, 2-12-22-32-42… 9-19-29-39-49-59-69-79-89-99. И снизу вверх: 99-89-79-69…, 98-88-78.68-58-48-38-28-18-8.
23) Теперь можно показать ребятам БОЛЕЕ БЫСТРЫЙ, чем на ленте, СПОСОБ сложения и вычитания двузначных чисел.
Если к 56 нужно прибавить 27, будем действовать следующим образом:
1. Найдем клетку 56 и установим в ней указку.
2. Переведем указку на клетку вниз и скажем ДЕСЯТЬ, еще на клетку вниз и скажем ДВАДЦАТЬ.
3. Переводим указку в соседние клетки вправо: ОДИН-ДВА ТРИ (с окончанием ряда переходим в нижний и продолжаем присчёт слева направо) -ЧЕТЫРЕ-ПЯТЬ-ШЕСТЬ-СЕМЬ.
4. Называем число из клетки, в которой остановилась указка: 83.
24) Если от 56 нужно отнять 27, действуем так:
1. Находим клетку 56 и устанавливаем в ней указку.
2. Переводим указку на клетку вверх и говорим ДЕСЯТЬ, еще на клетку вверх и говорим ДВАДЦАТЬ.
3. Переводя указку влево, приговариваем: ОДИН-ДВА-ТРИ-ЧЕТЫРЕ-ПЯТЬ-ШЕСТЬ (с окончанием ряда переходим в верхний и продолжаем отсчёт справа налево) — СЕМЬ.
4. Называем число из клетки, в которой остановилась указка: 29.
25) Схематически действия на сложение и вычитание выглядят следующим образом.
Стрелы для десятков, стрелки для единиц. Как на ленте, так и на столбах: столько да столько (прибавить, плюс) идём туда, где больше; отнять (минус) туда, где меньше.
Сначала, как и на ленте, работаем с указкой, потом глазами, а через некоторое время уже в уме. Но на год-два-три раньше, чем по любой из московских “развивающих” программ.
Не смущают нас и действия с выходом за сотню. Если к 78 нужно прибавить 45, указка пройдёт по клеткам 88 – ДЕСЯТЬ, 98 ДВАДЦАТЬ, 8 – ТРИДЦАТЬ, 18 – СОРОК,19 -ОДИН, 20 – ДВА, 21 ТРИ, 22 – ЧЕТЫРЕ, 23 – ПЯТЬ. С добавкой слова СТО, называем число из клетки, в которой остановилась указка: СТО ДВАДЦАТЬ ТРИ.
Если от 132 нужно отнять 54, действуем следующим образом:
передвигая указку из клетки 32 в клетку 22 говорим ДЕСЯТЬ, 12 ДВАДЦАТЬ, 2 – ТРИДЦАТЬ, 92 – СОРОК, 82 – ПЯТЬДЕСЯТ, 81 ОДИН, 80 – ДВА, 79 – ТРИ, 78 – ЧЕТЫРЕ. Называем результат из клетки, в которой остановилась указка:
СЕМЬДЕСЯТ ВОСЕМЬ.
Кто осмелится утверждать, что предлагаемые алгоритмы непосильны семи-шести-нятилетним детям?
Теперь обязательно нужно нарешать побольше задач и примеров, закрепляя навыки сложения и вычитания, добиваясь быстроты действий и постепенного перехода к счёту в уме без опоры па таблицу.
Работаем устно. Ведя запись, ни примеров, ни особенно задач много не нарешаешь, запись время съест,. Пока условие запишешь, первое действие, второе действие, развернутый ответ — сколько времени пройдёт? Да и кому нравится составлять отчёты о пустяковой, в общем-то, работе? Только на множестве примеров научимся и рассуждать, и правильно действовать.
Пятилетние ребята без устали решают задачи и примеры, с которыми многие восьми-девятилетки, модными системами замороченные, не справляются.
Вот образчик типичной работы из книги И.И.Аргинской “Обучаем по системе Л.В.Запкова. Первый класс”: “… учитель говорит: Мы объединяли, складывали числа 3 и 2, 4 и 1 и получили 5. Записывали разные случаи сложения, когда значение суммы равно 5. Теперь пойдём дальше!” – Учитель предлагает ученикам положить на парту отдельно 3 круга и 2 круга, а потом объединить обе группы в одну. Получается 5.
- Теперь отодвиньте 3 круга. Сколько осталось? (Два). Как называется число 27 (Слагаемое). А число З? (Тоже слагаемое). А число 5? (Значение суммы). Значит, как можно сказать о том, что вы сейчас делали? (Мы забрали одно слагаемое из значения суммы). Что же у вас осталось? (Другое слагаемое). Правильно. Теперь посмотрите на сумму 4+1, какие здесь слагаемые? (4 и 1). Чему равно значение суммы? (5). Если за брать слагаемое 4, какое слагаемое останется? (1). А еще какое слагаемое можно забрать? (Можно 1, тогда останется 4)”. И т.д., и т.п.
“Слагаемое, значение суммы, мы забрали одно слагаемое из значения суммы”…
И зачем картон портить, столько кругов нарезать? Три пальца да два пальца пять пальцев. Четыре пальца с пальцем тоже пять.
Вспомнилась, почему-то, история о походе Интеллигента в баню:
- Скажите, баня функционирует?
- Что-что?
Баня работает?
Работает.
И горячая вода циркулирует?
Что-что?
- Горячая вода есть? – Есть.
- Будьте любезны, билет на одно лицо. А остальное мыть не будете?
Одной из составляющих успеха наших методик является неукоснительное следование принципу: “от конкретного к абстрактному, от конкретно-образного к словесно-логическому”, не соблюдаемому почти нигде и никем.
Всякий термин, всякое определение обобщение, условность, абстракция. При обучении чтению, к примеру, буквы еще ни одной не ввели, а терминологию всю спустили: гласные, согласные, твердые, мягкие, звонкие, глухие, “меня зовут Фонема” и проч. Терминами, определениями нужно заканчивать, а не с них начинать.
На математике еще только фигуры из двух-трех пальцев складываем, а словесно-логическим уже ошарашили: слагаемое, значение выражения, значение суммы, состав десятка, состав числа, пары сумм, переместительный закон, переход через разряд и т.п.
Далеко не случайно, что математика наряду с русским языком – самые ненавистные предметы в школе. Не учащиеся тупы – методика дурна, не с того конца за дело принимается. И не учащихся психологами лечить, а методистов, создающих для школы такие пособия.
26) ЗЕЛЁНАЯ ТАБЛИЦА поможет закрепить навыки сложения и вычитания в пределах десятка, вводит знаки “плюс”, “минус”, “равно”, знакомит со способами записи примеров на сложение и вычитание.
Удобно по этой таблице и “по-научному” говорить: “Пять плюс три равно восьми, девять минус четыре равно пяти” и т.п., увидеть все это не только в цифрах, а на объектах – кружочках и квадратиках.
Целью “Стосчёта” как раз и является развитие объектных представлений, связанных со счётом, сложением, вычитанием, умножением и делением, без которых оперирование цифрами, знаками “плюс”, “минус”, “равно”, “умножить”, “разделить” будет для многих ребят еще долго оставаться абстракцией, которой и калькулятор не поможет.
В каждой колонке зелёной таблицы (на один, на два, на три и т.д.) по 10 строчек. Попросим ребят прочитать, глядя в таблицу, первый, второй, третий столбик и т.д. по самый последний, десятый в таком духе:
Шесть плюс один – семь. Шесть плюс два – восемь. Шесть плюс три – девять. Шесть плюс четыре – десять. Шесть минус один – пять. Шесть минус два – четыре. Шесть минус три – три. Шесть минус четыре – два. Шесть минус пять – один. Шесть минус шесть – ноль.
Если озвучивание столбцов сложения и вычитания учитель проводит с секундомером в руках от ребят отбоя не будет. Совсем не то, что при хронометрировании скорости чтения. За несколько занятий четырёх-пятилетки овладевают сложением-вычитанием в пределах десятка, любой пример губы сами выговаривают.
Состязаться ребята готовы на личный, на командный или средний результат (например, у мальчиков и у девочек). Подходят к учителю друг за другом и не по одному разу. Только и слышишь: “А можно ещё раз?” Кому не хочется узнать свой результат, сравнить с результатами товарищей, потренировавшись, улучшить время? Каждый в циферблат со своим зафиксированным результатом заглянет: мало услышать, надо ещё и увидеть. Шестнадцать целых, три десятых секунды. Вот видишь, шестнадцать, а тут ещё три. Приходится ребятам целые и десятые объяснять. Оказывается, четырёх-пятилетки прекрасно всё схватывают. Кто сейчас недопонял, дозреет чуть позже.
Дети прекрасно “включены” конкретно-образным учебным материалом “Стосчёта”. С двузначными числами начали знакомиться в четыре, а то и в три года, а не с 96-го урока (см. “Математику” Петерсон Л. Г.) в первом классе. Наши ребята не отвлекались “Волшебными цифрами” (там же): 0 — шарик, 1 – флажок, 2 -• яблочко, 3 — цветочек, 4 — грибочек, 5 листик, 6 — груша, 7 ёлочка, 8 рыбка, 9 кружечка. Не было у нас и давыдовских “сказочных цифр”.
Какие же чудеса методической изобретательности нужно проявить, чтобы 100 (по Занкову) или 95 часов отсидеть в одно значных числах! Петерсон, чтобы не показывать двузначных, разбавила свои четыре книги объёмом в более чем три сотни страниц малышами, Карлсонами, Незнайками, Винни-Пухом, Пятачком, Винтиком, Шпунтиком, Пилюлькиным, Пончиком, Мальвиной, Буратиной, Чипом, Дейлом, Зигзагом, Майк-Кря-ком, Скруджем, Шанокляком, Алисой, Мартовским Зайцем, Синей Гусеницей, Капризулей и прочим и прочим в игривом московском методическом духе.
27) КРАСНАЯ ТАБЛИЦА (см. Приложение 2 в конце книги) поможет бойко научиться считать до ста двойками, тройками, четвёрками и т.д. Действия учащихся в этом случае весьма просты: найди “2” и, следуя указкой (а потом только глазами) по горизонтальной графе, называй обозначенные в ней числа:
найди “З” и считай: 3, 6, 9, 12, 15… 90, 93, 96, 99 и 1 в остатке и т.д.
Считать будем и по 6, и по 8, и по 17: 17, 34, 51, 68, 85 и 15 в остатке. Это подготовка к будущему умножению и делению, и счёт этот далеко не абстрактен: от 17 до 34 глаз пробегает 16 пустых клеточек, очень важно увидеть и воспринять эти промежутки, все увеличивающиеся к низу таблицы.
Числа в таблице чёрные и не чёрные (написанные белым на красном). Чёрные на “чё” начинаются — чётные, нечёрные на “нечё” начинаются – нечётные. Такой дополнительный ориентир помогает легче воспринимать всю таблицу; столбики таблицы умножения, расположенные в левой части и таблицу Пифагора становится легче отслеживать глазами.
Почему-то никто почти не знает, что в сотне 25 простых чисел. Обратим, со временем, внимание ребят на это, сказав, что все простые числа — нечётные (кроме двойки) и расположены на вертикальных красных полосах.
Можем попросить ребят назвать или выписать простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 57, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Легко со временем нам будет отвечать и на такие, например, вопросы: “На что делится 42?”
Для этого надо в верхнем горизонтальном ряду найти 42 и, опускаясь по столбцу, называть числа: “На 1, на 2, на 3, 6, 7, 14, 21 и само на себя”. “А на что делится 60?” “На 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60”. Делители обнаруживаются движением глаз влево до края горизонтальной графы.
В двух нижних строчках таблицы представлены числа, дополняющие друг друга до ста. Пяти-шестилетки, имея такую опору, запросто решают задачи вроде:
— Сколько кукол по 13 тысяч можно купить на 100 тысяч рублей? Сколько денег при этом останется?
— Сколько будут стоить 5 кукол по 13 тысяч? Сколько получишь сдачи со 100 тысяч?
— В группе 17 ребят. На праздник им решили подарить по 3 кг конфет. Сколько всего?
— 42 кг конфет разложили в пакеты по 3 кг. Сколько получилось пакетов?
И так далее, и тому подобное.
28) ТАБЛИЦУ УМНОЖЕНИЯ к шести годам, конечно, будем знать назубок. Увлекательнейшее дело, если опять используем секундомер.
Попросим ребят прочитать по “красной” таблице первый столбик (одиножды один и т.д.) на время.
Таким же образом обмерим и следующие столбики. Сразу предупредим: произносить нужно “одиножды, дважды, трижды, четырежды, пятью, шестью, семью, восемью, девятью, десятью”. А то ведь порой и такое встретишь: “Дваю два, дваю три” или “Пять на два” и т.п.
По строчкам “красной” таблицы, расположенным справа от столбиков умножения, каждый легко может убедиться, что шесть раз по семь, действительно, сорок два, а семь раз по восемь семью восемь, проще говоря, действительно пятьдесят шесть.
Восторг вызывает таблица Пифагора. Надо же, как ловко устроена! Веди левой рукой по строчке вправо, правой рукой вниз, в точке пересечения получишь нужный результат.
Некоторым ребятам становится удобнее читать столбики на скорость по таблице Пифагора.
На глазах улучшаются результаты, чёткость произношения, в погоне за результатом многие отказываются глядеть в таблицу: “Так удобнее!” — объясняют.
Всем известна проблема: давно дети поняли, зачем нужна таблица умножения , как ею пользоваться, но… не выучивается она никак!
А учительница требует: “Ночью тебя разбуди, восемью девять спроси — губы чтоб сами сказали!”
Попросите второклассников-третьеклассников таблицу быстро и громко ПРОЧИТАТЬ. Замерьте время. Многим и при дневном-то свете, в таблицу глядя, с этим и за три минуты не справиться, пятнадцать раз запнутся, ошибутся: губы и язык не ворочаются.
Так давайте губы и язык тренировать, моторику, если хотим, чтоб “Ночью разбуди!”
Обеспечивая такую тренировку, необходимо позаботиться о глазах и осанке ребёнка. Столбики что в “зелёной” , что “красной” таблице достаточно крупны, чтобы воспринимать их с расстояния в два-три-четыре метра, стоя или сидя в удобной позе, с прямой спиной и откинутой назад головой.
Изготовим сами таблицу умножения размером не меньше ватмановского листа (таблица 4).
В таблице есть лёгкие и трудные столбики, лёгкие и трудные строчки.
Лёгкие столбики — на один, на два, напять, на десять. Лёгкими во всех столбиках будут первые и последние строчки — 6 х 1 = 6; 6 х 10 = 60 и т.п.
Всё “лёгкое” напишем зелёным, трудное — чёрным. Когда пройдены (замерены, многократно проговорены и услышаны) все столбики, учащиеся получают новое задание: кто быстрее по этой таблице всё “чёрное” прочитает?
Лучшие результаты могут приближаться к сорока и даже тридцати секундам.
Обязательно нужно проводить состязания на средний результат (между мальчиками и девочками, например), чтобы “медленные” ребята не потеряли интереса к улучшению своих показателей.
При такой работе таблица умножения выучивается с азартом, на удивление легко и быстро. “А нельзя ли ещё чего так выучить?” — иногда спрашивают ребята. Конечно, можно. Названия падежей с привязкой к ним падежных вопросов, например, и прочие вещи с тренировкой речевой моторики.
29) ПАЛАТА МЕР И ВЕСОВ. Пяти-шести-семилетки вообще обожают всяческие обмеры. В детском садике, начальной школе обязательно нужно иметь секундомер, линейки разной длины, портновский метр, угольники, мерную цепь (две лыжные палки, соединённые десятиметровой цепочкой на высоте примерно 70 см от земли) для замера больших расстояний, рулетку. В постоянных обмерах поймём и метры, и километры, сантиметры, дециметры и миллиметры. Насчитали до такого-то места с помощью мерной цепи 280 метров, отмерили рулеткой ещё 6 метров 57 сантиметров, сложили. Вот какое расстояние — 286 метров 57 сантиметров. Сможем участок обмерить, план его вычертить. С московскими-то палками не очень разовьёшься.
Нужны весы. Разные — чашечные, с гирями и гирьками, пружинные, повезёт, так и электронные. Будем взвешивать всё, а тут и до нахождения объёма и определения плотности недалеко — калькуляторы значит, нужны. Нужны мерные кружки, стаканы.
Редко какой преподаватель математики назовёт габариты кирпича, его вес. Наука начинается с обмеров. Мы заабстрактили математику. Начинаем с никому не нужных рассуждений и уже вылезти не можем. Давайте замерять расстояние, время, взвешивать, высчитывать площадь, объём, плотность вещества, сам собой станет нужен калькулятор. А рассуждать через деятельность и в деятельности научимся.
30) Начертите на полу КВАДРАТНЫЙ МЕТР. Расчертите его на квадратные дециметры, а один квадратный дециметр на сантиметры. Можно вклеить и квадратный сантиметр, вырезанный из миллиметровой бумаги. Рядом или в другой комнате можно сделать такой же квадратный метр на стене.
31) Хорошо бы изготовить натуральный КУБИЧЕСКИЙ МЕТР. На мебельных колесиках. Верхняя плоскость используется в качестве стола, внутренняя часть – объёмистый шкаф о двух дверках с полками в одной половине, а в другую двое-трое ребят даже могут забраться.
Боковые стенки шкафа-куба тоже должны работать: стенку с дверцами расчертим на квадратные дециметры, три другие стенки для вписанных квадратов и окружностей, восьмиконечной звезды, диагоналей, делящих квадрат на множество треугольников. На куб поставим кубический дециметр 1 (тоже расчерченный), а на него кубический сантиметр. Полезный предмет мебели и учебное пособие одновременно.
32) Ребята без особого труда воспринимают расположенную рядом с кубом таблицу, всю её прочитывают, активно обсуждают. Они вообще любят всё “научное”, и всякая толковая таблица обязательно вызывает интерес.
Такая таблица — повод к разговору о многих вещах, окружающих ребёнка, введение в мир чисел, обсчёта, сравнения.
Укрепляются навыки чтения слов и чисел, ребят охватывает страсть взвешивания разных предметов и материалов, вычисления их объёма и плотности. Становится нужным калькулятор, учимся пользоваться им. Операции не столь хитры, чтобы их не смог понять шести-семилетний ребёнок.
33) Прав А.М. Лобок из Екатеринбурга, у вальфдорских педагогов подсмотревший: деление — одна из самых доступных и интересных операций для ребёнка. Чуть ли не с рождения он является свидетелем или участником деления яблок, конфет, каши, супа, разливаемого из супницы в тарелки.
В делении найдём и сложение, и умножение, и вычитание. Вспомним крестьянских детей С.А. Рачинского, “домучивших” учителя до “настоящего арифметического кошмара”, загнавших его в теорию чисел, доведших до изобретения мнемонических приёмов, дававших возможность “придумывать безостановочно бесконечный ряд десяти и двенадцатизначных чисел, делимых без остатка на любые другие числа, и вместе с тем бесконечный простор для импровизации задач, устных и письменных”.
Отметим для себя и московских теоретиков: бесконечный простор не в рассуждениях по поводу двух и трёх пальцев, не в занудном оформлении каждой задачки, в которой и решать-то нечего, а подробный отчёт приложи: краткое условие, первое действие, второе действие, развёрнутый ответ. Бесконечный простор в решении большого количества интересных, сложных, но посильных для группы задач.
Пяти-шестилетки, подготовленные по “Стосчёту”, уже не боящиеся больших (с московской точки зрения) чисел, с удовольствием разделят 437 конфет (счётных палочек) поровну на каждого в группе из 23 ребят.
Наберём сначала 437: 100+100+100+100+10+10+10+7 из пучков счётных палочек по сто и десять, перетянутых резинками. Один десяток разберём, чтобы получить 7.
Раздадим сначала каждому по десятку “конфет”. При раздаче ещё по десятку один человек окажется обделённым. Раздадим тогда всем по пять “конфет”, а потом ещё, ещё, ещё и ещё по одной. Каждому достанется по 19.
Преподаватель проверяет, складывая “конфеты” в коробку, ведя запись на доске и, конечно, словесно комментируя свои действия: 23х10=230, 20х9=180, 3х9=27; 230+180+27=437. Правильно поделили! Молодцы!
А можно и по другому: 23х19=23(20-1)= 460-23=437
Покажите ребятам на доске и умножение столбом, и деление углом, опять же комментируя каждый свой шаг. “Мы вон сколько времени бегали-разносили, а учитель вмиг без беготни сделал. Надо этот способ разгадать, дайте нам ещё задачу или примерчик!” Непременно учительский “секрет” раскроют.
34) С изобретением никому дотоле неведомого “теоретического” мышления и внедрением его в педагогику, математика стала быстро утрачивать свою привлекательность.
Представители новой методической волны стали сотнями производить занудные, скучные, неинтересные задачи, зачастую и не по-русски написанные задачи:
“Сумма сторон треугольника 7 см. Две стороны равны по 2 см. Чему равна третья сторона?”
“Найди массу лисёнка в зайчатах и белочках”.
“Винни-Пух такого же роста, как крокодил Гена, а крокодил Гена выше Чебурашки. Кто ниже: Винни-Пух или Чебурашка?”
“Капризуля наплакала за день 6 ковшей слез, а царевна Несмеяна — на 4 ковша слез больше. Сколько слез наплакали за день Капризуля и Несмеяна вместе? (Хороша задача для восьмилеток! — Н.З.)
“Муравей прополз от ромашки до василька 5 дм 6 см, а от василька до муравейника 4 дм 2 см. Какое расстояние прополз муравей?”
“Гаечка чинила новый летательный аппарат. В нём утеряно 134 винтика. Вжик помог ей найти 79 штук. Сколько ещё не хватает?”
“Масса бочки с мёдом 36 кг, а масса пустой бочки — 7 кг. Сколько килограммов мёда в этой бочке?”
“С горки катались на санках с ребят. Когда на горку пришли лыжники, всего ребят стало п. Сколько лыжников пришло на горку?”
“У Светы были красные фонарики. Когда она склеила ещё е синих фонариков, то всего у неё стало с фонариков. Сколько красных фонариков было у Светы?”
35) Нашим восьми-семи и даже многим шестилеткам гораздо интереснее такие, например, задачи:
1. Двое пошли — 3 гвоздя нашли. Следом четверо пойдут — много ли гвоздей найдут? — Скорее всего ничего не найдут.
2. У стены, стоит кадушка, а в кадушке той — лягушка. Если б было 7 кадушек, сколько было бы лягушек? — Возможно, ни одной.
3. Как можно одним мешком пшеницы, смолов её, наполнить два мешка, которые столь же велики, как и мешок, в котором находится пшеница? — Надо один из пустых мешков вложить в другой такой же, а затем в него насыпать смолотую пшеницу.
4. Летела стая гусей: один гусь впереди и два позади, один позади и два впереди; один гусь между двумя и три в ряд. Сколько было всего гусей? – Три.
5. Шла баба в Москву и повстречала трёх мужиков. Каждый из них нёс по мешку, в каждом мешке по коту. Сколько существ направлялось в Москву? — В Москву шла только баба.
6. Пришёл мельник на мельницу. В каждом углу по 3 мешка, на каждом мешке по 3 кошки, у каждой кошки по три котёнка, у каждого котёнка — по мышонку. Сколько ног? — Две ноги (у мельника, у остальных — лапы, лапки).
7. Почему парикмахер в Женеве скорее предпочтёт постричь двух французов, чем одного немца? — Потому что заработает на них вдвое больше.
8. В шестиэтажном доме с этажа на этаж идут лестницы одинаковой длины. Во сколько раз подъём с первого этажа на шестой длиннее, чем подъём с первого этажа на третий? — В два с половиной раза.
9. Почему крышки уличных люков делают не квадратными, а круглыми? — а) Если квадратную крышку люка поставить – на ребро, то она может соскользнуть в люк и упасть на рабочего, б) Крышки люка делают круглыми, потому что квадратных люков не бывает.
10. Представьте, что у вас в кармане коробок с одной-единственной спичкой. Вы вошли ночью в тёмную комнату, где есть свеча, керосиновая лампа и газовая плита. Что вы зажжёте в первую очередь? — Спичку.
11. Химик обнаружил, что некоторая реакция протекает в течение 80 минут, если он в пиджаке. Если же он без пиджака, то та же самая реакция протекает за 1 час 20 минут. Как вы это объясните? — 80 минут равны 1 часу 20 минутам.
12. Рыбак ловил рыбу. На вопрос: “Сколько ты поймал рыбы?” — ответил: “Половину восьми, шесть без головы и девять без хвоста”. Сколько рыб поймал рыбак? — Ни одной:
половина восьми — 0, шесть без головы — 0, девять без хвоста — 0.
13. У семи братьев по одной сестрице. Сколько всего детей? — 8 детей: 7 братьев, имеющих одну сестру.
14. На столе лежат три карандаша разной длины. Как удалить из середины самый длинный карандаш, не трогая его? — Переложить один из тех, что короче.
15. Сколько концов у палки? У двух палок? У двух с половиной? — 2; 4; 6, т.к. у половины палки тоже два конца.
16. Курица, стоящая на одной ноге, весит 2 кг. Сколько весит курица, стоящая на двух ногах? — 2 кг.
17. На столе лежало 4 яблока. Одно из них разрезали пополам и положили на стол. Сколько яблок на столе? — 4.
18. Горело 7 свечей, 2 свечи погасили. Сколько свечей осталось? — Две свечи.
19. Одно яйцо варят 4 минуты. Сколько минут надо варить 6 яиц? — Тоже четыре минуты.
20. Сколько месяцев в году содержат 30 дней? — Все месяцы, кроме февраля.
21. Выпишите одну за другой все цифры от 9 до 1 в обратном порядке. — 123456789.
22. Написать цифрами число, состоящее из одиннадцати тысяч, одиннадцати сотен и одиннадцати единиц. — 12111.
23. Между цифрами 2 и 3 поставить знакомый вам математический символ, чтобы получить число, большее 2, но меньшее 3. —2,3.
24. Сумма каких трёх положительных целых чисел равна их произведению? — 1+2+3=1х2х3.
25. Пара лошадей пробежала 40 км. По сколько километров пробежала каждая лошадь? — По 40 км.
26. Может ли дождь идти 2 дня подряд? — Не может. Дни разделяет ночь.
27. Если поздней осенью в 10 часов вечера идёт дождь, то возможна ли через 48 часов солнечная погода? — Нет, так как поздней осенью в 10 часов вечера солнца не бывает.
28. Магазин при 10-часовом рабочем дне открывается в 8 часов утра и закрывается в 7 часов вечера. Закрывается ли магазин на обеденный перерыв? — Закрывается. От открытия до закрытия проходит 11, а не 10 часов.
29. Пошли на охоту два сына и два отца. Убили трёх зайцев. Возвращаясь, каждый нёс по зайцу. Могло ли так случиться? — Могло. На охоте были дед, отец и внук.
30. Полторы рыбы стоят полтора рубля. Сколько стоят 5 рыб? — 5 рублей.
31. Одна рыба стоит один рубль и ещё полрыбы. Сколько стоят 5 рыб? — Половина рыбы стоит 1 рубль. Следовательно, 1 рыба стоит 2 рубля, а 5 рыб —10 рублей.
32. Кирпич весит 1 кг и ещё полкирпича. Сколько весят 5 кирпичей? —10 килограммов.
33. Кирпич весит 2 кг и ещё полкирпича. Сколько весят 4 кирпича? —16 килограммов.
34. Разделите полтину на половину. — Так как полтина — это 50 копеек, то надо разделить 50 на //2 Выполнив деление, получим 50:1/2 = 100 копеек = 1 рубль.
35. Высота сосны 20 м. По ней ползёт улитка, каждый день поднимаясь на 2 м вверх и каждую ночь спускаясь на 1 м вниз. За сколько дней улитка поднимется на вершину сосны? — 19 дней.
36. 3 кошки съедают трёх мышек за полтора часа. За какое время 10 кошек съедят 20 мышек? — 3 кошки за полтора часа съедят трёх мышек; 1 кошка за полтора часа съест одну мышку; 1 кошка за 3 часа съест двух мышек; 10 кошек за 3 часа съедят 20 мышек.
37. Полторы курицы за полтора дня снесут 1,5 яйца. Сколько яиц снесут 4 курицы за 9 дней? — Одна курица снесёт одно яйцо за полтора дня. Следовательно, за 9 дней она снесёт 6 яиц, за те же дни 4 курицы снесут 24 яйца.
38. “Вот вам три таблетки сказал врач, — принимайте их через каждые полчаса”. На какое время хватит прописанных доктором таблеток? — На час.
39. В колесе 10 спиц. Сколько промежутков между спицами? – 10.
40. Часы с боем отбивают один удар за секунду. Сколько времени потребуется часам, чтобы отбить 12 часов? —11 секунд.
41. Портной от куска сукна в 16 метров ежедневно отрезает по 2 метра. Через сколько дней он отрежет последний кусок? — Через 7 дней.
42. За одну минуту мальчик отпиливает метровое полено от пятиметрового бревна. За сколько минут он распилит бревно на части? — За 4 минуты.
43. Два землекопа выкапывают 2 м канавы за 2 часа. Сколь-: ко землекопов за 5 часов выкопают 5 м канавы? —2 землекопа.
44. Пять братьев хотели разделить 20 овец так, чтобы каждый получил нечётное их число. Возможно ли это? — Братьев нечётное число. Поэтому если каждый возьмёт нечётное число овец, то и общее число овец будет нечётно, а 20 — чётное число.
45. Девочка спросила дедушку, сколько ему лет. Тот отве-., тил: “Если уменьшить мои годы в 6 раз и отнять ещё 6 лет, то получишь 6. Узнай, сколько мне лет?” — 72 года.
46. Лошадиный барышник на ярмарке купил лошадь за 60 рублей, а продал за 70. Через некоторое время он купил ту же лошадь за 80 рублей, а продал за 90. Каков его барыш? — 20 “рублей.
47. В полдень из Москвы в Тулу выехал мотоциклист. Часом позже из Тулы в Москву отправился велосипедист, скорость движения которого, конечно, меньше, чем у мотоциклиста. Когда велосипедист и мотоциклист встретятся, кто из них будет дальше от Москвы? — Оба будут находиться на одинаковом расстоянии от Москвы.
48. Скорый поезд вышел из Москвы в Санкт-Петербург и шёл без остановок со скоростью 60 км в час. Другой поезд вышел ему навстречу из Санкт-Петербурга и тоже шёл без остановок, но со скоростью 40 километров в час. На каком расстоянии друг от друга будут поезда за час до встречи? — На расстоянии ста километров друг от друга.
49. Книжный червь прогрыз себе путь от первого листа первого тома до последнего листа второго тома, стоящего справа от первого. В каждом томе по 600 страниц. Сколько листов прогрыз червь? — Ни одного, только переплёты.
50. Волк и заяц соревновались в беге. Каждый шаг зайца был в два раза короче волчьего, но шаги заяц делал в три раза чаще, чем волк. Кто победил в соревновании? — За один шаг волк преодолевал расстояние в два заячьих шага. За то же время, когда волк делал один шаг, заяц успевал сделать три шага. Поэтому заяц победил в соревновании.
51. Недалеко от берега стоит корабль со спущенной к воде верёвочной лесенкой. У лесенки 10 ступенек. Расстояние между ступеньками 30 сантиметров. Самая нижняя ступенька касается поверхности воды. Океан спокоен, но начинается прилив, который каждый час поднимает воду на 15 сантиметров. Через сколько времени вода покроет третью ступеньку верёвочной лесенки? — Вместе с водой будут подниматься и корабль, и лесенка, так что поднимающаяся вода никогда не покроет третьей ступеньки.
52. У царя родился сын. В честь такого события он решил провести амнистию: “Все сроки заключения уменьшить наполовину. Выполнение этого приказа вызвало затруднение. Как быть с теми, кто осуждён пожизненно. Ведь неизвестно, кто сколько проживёт. Но царь был категоричен: “Приказ должен быть исполнен”. Слуги думали, думали и придумали. Что они придумали? — Заключенных, осуждённых пожизненно, забирать в тюрьму через день.
53. Четыре брата, владевшие ослом, договорились, что каждому из них будет принадлежать одна нога животного. Случилось, что осёл поранил ногу, принадлежащую брату Ивану. Нога разболелась и осёл не мог более работать. Так как от этого страдали и три других брата, то все четверо братьев решили лечить осла сообща, для чего вздумали приложить к больной ноге паклю и поджечь её. Когда они это сделали, осёл, испугавшись огня и почувствовав боль, вырвался и бросился бежать, куда глаза глядят. Вскоре он очутился в усадьбе одного помещика, где были сложены снопы хлеба. От горевшей пакли солома вспыхнула, и весь сложенный хлеб сгорел. Помещик потребовал от братьев возмещения понесённых им убытков в размере трёхсот рублей. Кто из братьев и в каком размере должен оплатить эту сумму? — Сумму триста рублей должны заплатить помещику братья, которым принадлежали три здоровых ноги, которые занесли осла в усадьбу.
54. У султана было 10 визирей, которые каждый год платили ему по мешку монет. Заметил он, что один из визирей хитрит и даёт мешок, в котором каждая монета на грамм легче, чем в других мешках. Как при помощи только одного взвешивания монет выявить визиря-обманщика? – Построив визирей с мешками в ряд, взять из мешка первого визиря одну монету, из мешка второго — две и так далее. Монеты должны весить 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 граммов. Разность в количестве граммов между истинным весом и 55 граммами укажет место визиря-обманщика в общем ряду.
55. Крестьянин пришёл к царю с просьбой: “Позволь мне взять одно яблоко из твоего сада”. Царь разрешил. Подходит крестьянин к саду и видит: весь сад обнесён тройным забором. В каждом заборе только одни ворота, и около каждых ворот — сторож. Подошёл крестьянин к первому сторожу и сказал за чем пришёл. “Возьми, но при выходе отдашь половину яблок и ещё одно”, — ответил сторож. То же сказали ему и сторожа, охранявшие вторые и третьи ворота. Сколько яблок нужно взять крестьянину, чтобы, выйти из сада только с одним? — Перед внешними воротами у него должно быть 4 яблока, перед вторыми — 10 яблок, перед третьими — 22 яблока.
56. Между городами А и В 300 километров. Из них выехали два велосипедиста и со скоростью 50 километров в час каждый помчались навстречу друг другу. Вместе с первым велосипедистом из города А стартовала муха, пролетающая 100 километров в час. Встретившись с велосипедистом из города В, муха развернулась и полетела к первому, а встретившись с ним, опять полетела ко второму. Когда велосипедисты съехались и остановились, муха угомонилась и села одному из них на голову. Сколько километров пролетела муха? — Муха, не останавливаясь летела ровно 3 часа, а следовательно, пролетела 300 километров.
57. Хозяин загнал во двор волов. Во дворе несколько колов. К каждому колу привязать по волу — для одного вола не хватит кола. А по паре волов к каждому колу — один кол без волов. Сколько было колов и сколько волов? — 3 кола, 4 вола.
58. Пасли ребята коней. Если пересчитать ноги коней и детей, получится 74, а если головы, то 22. Сколько было ребят и сколько коней? — 7 ребят и 15 коней.
59. Первый покупатель взял полтелеги арбузов и ещё поларбуза, второй — половину остатка и тоже пол-арбуза, третий взял половину оставшихся и ещё пол-арбуза и т.д. Шестой забрал что оставалось с последней половинкой. Сколько было всего арбузов, если каждый покупатель брал их целое число? — Задача решается, если сообразить, что шестому покупателю достался целый арбуз. Значит, пятому досталось 2, четвёртому — 4, третьему — 8 и т.д. Всего же арбузов было 1+2+4+8+16+32 = 63.
60. У семи хозяев по семь кошек, каждая кошка съедает по семь мышей, каждая мышь съедает по семь колосьев ячменя, из каждого колоса может вырасти по семь мер зерна. Сколько мер зерна сохраняется благодаря этим кошкам? — 7х7х7х7х7 = 16807 мер зерна.
61. Крестьянину было предложено взять столько земли, сколько он успеет обежать в течение одного дня. По какому контуру ему выгоднее бежать: по квадратному, правильному шестиугольному или по кругу? При равенстве периметров этих фигур какая имеет большую площадь? — По кругу. Круг.
62. В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 часов. Сколько косцов за 3 часа выпьют такой же бочонок кваса? — Поскольку за восемь часов 6 человек выпивают бочонок кваса, то за один час такой же бочонок кваса выпьют 48 человек, а тогда за 3 часа этот бочонок кваса выпьют 16 человек.
63. Принёс крестьянин на рынок продавать яйца. Подходит к нему торговец и спрашивает: -“Сколько стоит десяток яиц?>> Крестьянин ответил замысловато: “25 яиц без полушки стоят пять полушек без пяти яиц”. Сосчитайте, по какой цене продавал крестьянин десяток яиц. — Так как 25 яиц без полушки стоят пять полушек без пяти яиц, то 30 яиц без полушки стоят пять полушек, откуда получаем, что один десяток яиц стоит две полушки или полкопейки.
64. Воин за первую рану получил вознаграждение в одну копейку, за другую две, за третью 4 копейки и т. д. По окончании службы всего вознаграждения оказалось 655 рублей 35 копеек. Спрашивается число его ран. — 16.
65. Некто продаёт свою лошадь по числу подкованных гвоздей, которых у неё 16. За первый гвоздь он просит копейку, за второй — две, за третий — 4, за четвёртый — 8 и дальше вдвое за каждый следующий. Спрашивается, во сколько он ценит лошадь. — 655 рублей 35 копеек.
66. Двое крестьян поделили между собой 7 рублей, причём один получил на 3 рубля больше другого. Сколько денег досталось каждому из них? — Возьмём 3 рубля у того из крестьян, который получил большую часть денег. Тогда сумма в 4 рубля распределится между крестьянами поровну. Значит, меньшая часть разделённых денег составляет два рубля, а тогда большая часть равна пяти рублям.
67. Вол съел копну за час, конь — за 2, коза — за 3 часа. За сколько бы времени — вол, конь и коза — съели ту копну вместе? — За 12 часов вол съест 12 копен, конь — 6, коза —4, всего 22 копны. Поэтому одну копну вол, конь и коза съедят вместе за 6/11 часа.
68. Весёлый француз пришёл в трактир с неизвестною суммой своего богатства, занял у хозяина столько денег, сколько у себя имел; из сей суммы издержал 1 рубль. С остатком пришёл в другой трактир, где опять, занявши столько, сколько имел, издержал в оном также 1 рубль; то же учинил в третьем и четвёртом трактирах. По выходе из четвёртого трактира не имел уже ничего. С какою суммой пришёл он в первый трактир? — 93 3/4 копейки.
69. Некто за три алтына купил сукна три четверти аршина. Сколько алтын стоят 100 аршин? — 400 алтын = 1200 копеек = 12 рублей.
70. Нововыезжей в Россию иностранной мадаме
Вздумалось оценить своё богатство в чемодане:
Новой выдумки нарядное фуро
И праздничный чепец а ля фигаро.
Оценщик был русак, Сказал мадаме так:
“Богатства твоего первая вещь фуро
Вполчетверта дороже чепца фигаро;
Вообще же стоят не с половиною четыре алтына,
Но настоящая им цена только сего половина.
Спрашивается каждой вещи цена,
С чем иностранка к россам привезена.
“Вполчетверта” — в 3,5 раза. Подобные названия сохранились и в современном языке. На вопрос “Сколько времени?” мы отвечаем: “Половина двенадцатого” -, имея в виду 11 с половиной часов.
Всё имущество мадам было оценено в 1/2 х (4+1/2) алтынов, что составляет 27/4 копейки, “Чепец фигаро” по условию в 3 с половиной раза дешевле “фуро”, и, следовательно, на 4 с половиной (9/2) рубля дешевле всего имущества. Поэтому чепец стоит 27/4 : 9/2 = 3/2 копейки, а стоимость платья “фуро” равна 3/2 х 3 1/2 = 21/4 копейки.
Малыши, не приговорённые к занудному сидению в одном десятке, с восторгом осваивают и приёмы быстрого счёта. Начнём с простеньких, как то:
УМНОЖЕНИЕ НА 4. Чтобы умножить число на 4, надо удвоить его, и полученный результат снова удвоить.
УМНОЖЕНИЕ НА 5. Чтобы умножить число на 5, приписывают к нему ноль и делят пополам.
УМНОЖЕНИЕ НА 8. Чтобы умножить число на 8, надо удвоить его трижды.
УМНОЖЕНИЕ НА 9. Чтобы умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают исходное число. 62х9= 620-62=558.
УМНОЖЕНИЕ НА 11. Чтобы умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют исходное число.
УМНОЖЕНИЕ НА 25. Чтобы умножить число на 25, к нему приписывают два нуля и делят на четыре.
ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ. Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся цифрой 5, умножают число десятков на число десятков плюс единица и к полученному произведению приписывают 25: 65х65; 6х(6+1)= 42; 4225.
Постепенно будем осваивать с ребятами более сложные приёмы устного счёта, умножения, деления, возведения в степень. Вычисления порой настолько сложны, что ребятам для решения задач и примеров становится нужен калькулятор.
От конкретно-образного к словесно-логическому, на несколько лет обгоняя развивающих опережателей.
Наш лозунг:
ОТ “ТЕОРЕТИЧЕСКОГО” МЫШЛЕНИЯ – К НОРМЕ!
